角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

宇宙是如何运转的?有遵循的规律吗?

地球是一个球体,我们扔出一个物体,如果速度足够快,扔出地球的直径以外,这个物体如何往下掉,如何运动?会如同月球一样,围绕地球旋转吗?这个速度需要多少?

如果一个围绕地球旋转的物体要脱离地球的引力运动时,会受到太阳的引力而做绕日运动?需要多大的速度?更进一步,如果要脱离太阳的引力呢?

行星的运动轨道有什么规律?各种类型的探测器需要多大的初始速度?

1 开普勒三大定律

1602年底,开普勒运用几何学知识,阐述了行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。这就是关于行星运动的开普勒第二定律(面积定律)。

1605年初,开普勒偶然想到了椭圆轨道这个概念,他之前认为这个解决方法太简单,以至于早期的天文学家们都忽略了。在发现椭圆形轨道适用于火星的数据之后,他立即推断出所有行星都以太阳为中心按照椭圆轨道运动,这就是关于行星运动的开普勒第一定律(椭圆定律)。

1609年, 开普勒利用丹麦天文学家第谷·布拉赫20多年所观察与收集的非常精确的天文资料(特别是火星轨道的资料)完成了《新天文学》(Astronomia nova)的手稿,但是由于第谷天文台(第谷后人的财产)的法律争议,直到1609年才发表。书中阐述了椭圆定律和面积定律。

1618年,在发表的《世界的和谐》(Harmonices Mundi)一书中阐述了所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道半长轴的立方成比例,这就是开普勒第三定律(调和定律,也称周期定律)。

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

行星椭圆轨道半长轴a(若行星为圆轨道,则a为圆轨道的半径)的立方与行星运行周期T平方成正比,即

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

k就是开普勒常量。太阳系中k的值为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

。T为运行周期,如地球的运动周期大约为365.25 天。

2 圆周运动与向心力

任何物体在作圆周运动时需要一个向心力,因为它在不断改变速度(对象的速度的速率大小不变,但方向一直在改变)。只有合适大小的向心力才能维持物体在圆轨道上运动。这个加速度(速度是一个矢量,改变方向的同时可以不改变大小)是由向心力提供的,如果不具备这一条件,物体将脱离圆轨道。注意,向心加速度是反映线速度方向改变的快慢。

物体在作圆周运动时速度的方向相切于圆周路径。匀速圆周运动物体所受合力的方向一直指向圆心,即此来改变速度的方向。

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

向心力可以使物体不脱离轨道。一个很好的例子是重力。 地面重力给人造卫星必要的力使其在沿轨道运动。

物理学上,向心力与物体速度的平方及它的质量和半径倒数成正比:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

其中 v=ωr

(v是线速度,单位时间内经过的距离,ω是角速度,单位时间内转过的角度)。

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写出匀速圆周运动的运动轨迹的参数方程,这方程是一个圆的参数方程,表示匀速圆周运动的质点在每个

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

时刻的位置

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

是质点的坐标,也可以看作是从圆心指向质点的矢量。

x(t) = Rcosωt

y(t) = Rsinωt

对 t 求导一次,就得到了小球在每个 t 时刻应当具有的速度。

对 t 求导两次,就得到了小球在每个 t 时刻应当具有的加速度,加速度的大小

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

质量为m的物体以速度v沿曲率半径为r的曲线运动时所需的向心力F(单位N)为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

其中 v=ωr

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

其中:v为线速度(单位m/s),ω为角速度(单位rad/s),m为物体质量(单位kg),r为物体的运动半径(单位m),T为圆周运动周期(单位s),f为圆周运动频率(单位Hz),n为圆周运动转速(即频率,单位r/s)。

角速度用连接物体和圆心的半径转过的角度θ跟转过这个角度所用时间t的比值来表示,即:ω=θ/t,比值ω叫作匀速圆周运动的角速度。在国际单位制中角度的单位是弧度,时间单位是秒,角速度单位是弧度/秒。角速度ω与周期T的关系是:ω=2π/T,角速度和线速度的关系是v=ωr。在实际应用中,人们也常用转速来描述作匀速圆周运动物体的快慢。所谓转速是指作匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数,用符号n来表示。角速度与n的关系是:ω=2πn。

3 太阳对行星的引力提供行星轨道运动的向心力

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

是一个常量,所以

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

(∝表示成比例)

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

即万有引力分别与M和m成正比。

设F=a(M)m,a(M)是M的函数;

设F=b(m)M,b(m)是m的函数;

r不变时,m与M无关,a(M)与b(m)无关。

当m为固定值时,F∝a(M)∝M,设a(M)=cM

带入F=a(M)m,得F=cMm

所以 F∝Mm

牛顿得出万有引力公式:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,其中G是一个常量,称为万有引力常量。

4 万有引力常量

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

推导出

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

1797年夏,英国物理学家卡文迪许(H.Cavendish)着手改进米歇尔的扭秤。1798年,卡文迪许利用扭秤,成功地测出了引力常量的数值,证明了万有引力定律的正确。

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

用准直的细光束照射镜子,细光束反射到一个很远的地方,标记下此时细光束所在的点。

用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球。由于万有引力作用。扭秤微微偏转。但细光束所反射的远点却移动了较大的距离。

卡文迪许解决问题的思路是,将不易观察的微小变化量,转化为容易观察的显著变化量,再根据显著变化量与微小量的关系算出微小的变化量 。

此实验的巧妙之处在于利用光的反射将微弱的力的作用进行了放大。

在卡文迪许的实验中,对于万有引力公式

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,除了G以外,所有量都是已知的,于是可从方程直接求出G。其值为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力。

4 黄金代换公式

在理想情况下,物体在天体表面的重力大小(mg)等于天体对物体的万有引力(F)大小。设天体表面一个物体质量为m,中心天体质量为M,g为天体表面的重力加速度,r为天体半径,已知引力常量为G,得:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

= mg

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

在卡文迪许测出引力常量G之前,这个公式可以直接用来替换未知的G,价值堪比黄金,所以叫黄金代换公式。

5 宇宙速度

作为前置知识的相关数据和公式:

重力加速度:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

万有引力常数:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

地球半径:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

地球质量:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

太阳质量:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

太阳与地球之间的距离:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

5.1 第一宇宙速度(环绕速度)——7.9km/s

物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度。

人造卫星在地面附近(高度忽略)绕地球做匀速圆周运动时(真空环境中依靠惯性滑行),其轨道半径近似等于地球半径 (以地心为基准),其向心力为地球对卫星的万有引力,其向心加速度近似等于地面处的重力加速度。

根据定义,直接由万有引力提供物体匀速圆周运动所需向心力:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

从面得到:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,根据黄金代换:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

解得:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

由于地球在自转,因而在发射卫星时,利用地球的自转(由西向东),可以尽量减少发射人造卫星时火箭所提供的能量,而且最理想的发射场地应该是地球的赤道附近。

发射之处,由于地球的自转,使得卫星具有一初速度,其大小为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

由于地球自转而获得的动能(假设某卫星的质量是

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

):

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

利用地球自转,在赤道利用火箭发射卫星时可节省

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

的能量。

5.2 第二宇宙速度(逃逸速度)——11.2km/s

物体挣脱地球引力束缚,离开地球的最小发射速度。

(第一宇宙速度用力的概念来推导,第二宇宙速度用功的概念来推导。)

先看一个简单的问题: 地面上有一个质量为m的物体,以初速度V0竖直向上抛出,它能上升多高?

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

很明显,由于物体一直受到重力的作用,而且重力与其运动方向相反,重力是阻止物体向上运动的,重力对物体做负功,或者说,物体要克服重力做功:W=m·g·h

如果物体没有初速度,也就没有动能,是无法克服重力做功的,就是说,物体自己是不会跳起来的!必须别人推它获得初速度,也就有初动能:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

在物体上升的过程中,物体由于要克服重力做功,本身的动能会越来越小,重力势能会越来越大,直到动能耗尽,Ek(top)=0,全部转化为势能为止,达到最高点,此时:Ek=0Ep=mgh (重力势能)这个重力势能就是初始动能转化来的:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

由此可以算出物体能达到的最大高度:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

物体在耗尽了动能之后,不会呆在最高点不动,马上就会掉下来!为什么?

因为地球还对它有引力,也就是重力,会把它拉回地面,掉下来。不过你力气越大,扔得越高,直到看不见,不过要小心,它还是会砸下来的。所以,我们用手是不能把一块石头扔上天的!

一定要把它扔上天,那就只好用火箭发射了。好在现在火箭越来越牛。那么扔上天是什么意思?就是不再掉下来,而且,再也不回地球了,去太阳系遨游,升级为太阳的人造卫星!

怎么可能?地球不是一直吸引它吗?当它动能耗尽,不是还会拉回来吗?呵呵,不会。因为,我们一直生活在地球,被重力吓怕了,其实,有一个重要的细节我们忽略了,那就是,重力并不是不变的,而是随着距离的增加猛减的。这个,老牛同志(牛顿)早就说过了,重力不过是万有引力的一种而已:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

万有引力定律说明,随着距离的增加,引力按距离的平方减少,也就是说,如果我们能把石头扔到无穷远的话,地球的引力就无穷小了,可以不计。所以,理论上,是可以扔出去的!那么怎么计算要多大的速度呢?那我们就要算出从地面到无穷远j时重力做了多少功。那还不容易:W=mgh∞

苦也!这个功是无穷大!那就意味着要无穷大的速度,无穷大的力!错!

我们站在地面思考问题时,总是把重力简化为G=mg,这个公式,只适合地面。

实际上它是随距离变化的:

克服引力,飞向太空:圆周运动与向心力,万有引力常量与宇宙速度

所以上面的公式中是不能用mg代表所有点的重力的,每个点受到的重力都是不同的。

在地球引力场中,移动物体时克服引力所做的功。很显然,物体上升得越高,需要做的功也就越多。但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等,随着物体高度的增加,地球引力将逐渐减弱。当物体与地球的距离趋于无穷大时,地球对它的引力也就趋于零,这时物体就脱离了地球的引力场。因此,物体由地球表面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。这一数值可用下面的方法进行推算。

如上图所示,因各处的引力不等,设物体m从地球E的引力场中从

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

处移动到

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

处。

我们可把

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

的一段距离分成许多极小的等分Δx。

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

和地球中心的距离分别为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

;先求出每一等分中的平均引力,然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功,这些功的总和,就是物体从

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

移动到

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

克服地球引力所做的功。如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功,那么它从

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

移动到

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

克服地球引力所做的功,就等于它动能的减少。

根据万有引力定律,如果用G表示万有引力常量,M表示地球的质量。物体在P0处所受的引力为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

;物体在

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

处所受的引力为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

因为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

相距极近,物体在

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项,即:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

同理,物体在P1、P2间所受的平均引力为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

……

物体在

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

间所受的平均引力为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

物体从

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

的过程中克服万有引力所做的功为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

*

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

物体从P1移动到P2时克服万有引力所做的功为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

……

同理,物体从Pn -1移动到Pn时克服万有引力做的功为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

把以上各式相加,得到物体从P0移动到Pn整个过程中克服万有引力所做的功为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

物体从

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

处克服万有引力所做的功,在数值上就等于物体在

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

两处物体与地球组成的系统的重力势能之差,它的值只与

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

的位置有关,而与物体移动的路径无关。

如果物体在

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

处的速度为v,它的动能就为

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,物体之所以能克服万有引力做2

功,正是因为它具有这些动能。由机械能守恒定律可知,如果只考虑克服地球引力做功,物体所具有的动能应满足下列条件:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

即物体应具有的速度为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

在以上的推导过程中,我们没有考虑物体在运动过程中克服空气阻力做功,也没有考虑太阳及其它天体引力的影响。在实际情况下,要使物体从

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,所需的动能应更大些。

由以上推导得出的速度表达式可知,使物体从地球表面r = R处出发而脱离地球,即到达

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

处,物体所具有的速度即为第二宇宙速度,所以第二宇宙速度为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

根据黄金代换:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

= 11.2 km/s

其实在推导第一宇宙速度(环绕速度)和第二宇宙速度(逃逸速度)的时候,我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号2倍了(

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

)。

以上推导过程实际已经隐含了引力热能公式。

当物体挣脱地球引力飞向据地球无穷远处时,物体动能和势能都为0焦耳,根据机械能守恒定理,在地球上发射时动能和引力势能之和也应该为0焦耳,

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,即:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

化解得到:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

5.3 第三宇宙速度推导——16.7km/s

地球上物体飞出太阳系相对地心最小速度称为第三宇宙速度,它的大小为16.7公里/秒。

首先,我们发射卫星时可以利用地球的公转速度,因此,先求解地球绕太阳的公转速度,即:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

解得:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

然后,我们不考虑地球影响(或假设地球不存在),以太阳为参考系,那么在地球附近的物体具有的动能与势能之和为:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

若该物体能挣脱太阳引力,则应该满足

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

,即:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

解得

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

地球公转速度(29.8km/s)小于这个逃离速度(相对于太阳),所以地球无法逃离太阳引力。第三宇宙速度是相对于地球的,地球公转速度是相对于太阳的。

其实在推导第一宇宙速度(环绕速度)和第二宇宙速度(逃逸速度)的时候,我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号2倍了。因此上述

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

相当于地球逃逸太阳的速度(

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

)。

前面已经说过,发射卫星时可以利用地球的公转速度,因此得到:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

也可以理解为是相对地球的速度,即以地球为参考系的速度。

刚才我们求解得到时是假设地球不存在的,现在把地球还原,则发射速度还要克服地球引力作用(达到第二宇宙速度),即:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

推导第二宇宙速度有动能和引力势能的关系:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

可得:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

注意上式可以直接理解为:发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。

简单地说,发射动能相当于地球从太阳系逃逸后,物体再从地球上逃逸。当然这个说法不完全正确,因为涉及到一个相对速度和参考系的变化!

最终解得:

角速度与线速度的关系(角速度与线速度单位换算)

(4)其他几个宇宙速度

地面上的物体在充分利用地球公转速度情况下再获得这一速度后可沿双曲线轨道飞离地球。当它到达距地心93万公里处,便被认为已经脱离地球引力,以后就在太阳引力作用下运动。这个物体相对太阳的轨道是一条抛物线,最后会脱离太阳引力场飞出太阳系。

5.4 第四宇宙速度

物体摆脱银河系引力束缚,飞出银河系的最小发射速度,大约为110-120km/s。

5.5 第五宇宙速度

物体飞出本星系群的最小发射速度,由于本星系群的半径和质量均未有足够精确数据,因而无法准确得知大小。估计本星系群大小为500-1000光年,照这样计算,至少需要1500-2250km/s 的发射速度才能飞离。

5.6 第六宇宙速度

假设宇宙之外还有别的世界,要摆脱宇宙到达另一个世界,需要的最小发射速度,这就是第六宇宙速度,该宇宙速度是否存在,不得而知!

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